Turunan Fungsi by Bimbel Jakarta Timur

Sebelum ke Rumus-Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan Bimbel Jakarta Timur menjabarkan definisi secara Matematika, Fisika, Ekonomi dan Rekayasa

Dalam matematika

Turunan fungsi adalah konsep yang terkait dengan perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam istilah yang lebih sederhana, turunan memberikan informasi tentang sejauh mana suatu fungsi berubah ketika nilai variabel independennya berubah. Turunan sering digunakan untuk mengukur kecepatan perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu.

Interpretasi geometris dari turunan adalah sebagai gradien atau kemiringan garis singgung pada kurva fungsi pada titik tertentu. Turunan memberikan informasi tentang kecepatan perubahan nilai fungsi terhadap perubahan nilai variabel independennya.

Beberapa aturan turunan yang umum digunakan melibatkan aturan pangkat, aturan rantai, dan aturan jumlah/diferensiasi.

Dalam fisika

Turunan fungsi sering digunakan untuk menyatakan hubungan antara berbagai variabel dan untuk mengukur sejauh mana suatu besaran fisika berubah terhadap waktu atau variabel lainnya. Beberapa konsep turunan fungsi yang umum digunakan dalam fisika melibatkan kecepatan, percepatan, dan laju perubahan suatu besaran terhadap besaran lainnya. 

Konsep turunan ini memberikan cara matematis untuk menggambarkan perubahan atau laju perubahan dalam berbagai fenomena fisika. Turunan seringkali memainkan peran penting dalam pembentukan persamaan diferensial yang menggambarkan perilaku sistem fisika.

Dalam ekonomi

Turunan fungsi digunakan untuk menyatakan hubungan antara berbagai variabel ekonomi dan untuk mengukur perubahan suatu besaran ekonomi terhadap variabel lainnya. Beberapa contoh penggunaan turunan dalam ekonomi melibatkan konsep elastisitas, produksi, dan utilitas. 

Konsep turunan membantu para ekonom untuk memahami respons sistem ekonomi terhadap perubahan dalam variabel-variabel kunci dan mengukur dampak perubahan tersebut pada keputusan ekonomi. Ini memungkinkan ekonom untuk mengambil keputusan yang lebih informasional dan mendalam dalam menganalisis fenomena ekonomi.

Dalam rekayasa

Turunan fungsi sangat penting karena membantu insinyur untuk memahami dan mengoptimalkan berbagai fenomena fisika atau matematika yang muncul dalam perancangan dan analisis sistem rekayasa. Beberapa aplikasi turunan dalam rekayasa melibatkan analisis sinyal, kontrol sistem, optimisasi, dan permodelan sistem fisik. Berikut adalah beberapa contoh penggunaan turunan dalam rekayasa:

1. Analisis Sinyal (Signal Analysis):

   - Dalam pemrosesan sinyal, turunan sering digunakan untuk menganalisis karakteristik sinyal. Turunan sinyal dapat memberikan informasi tentang frekuensi, amplitudo, dan fase.

2. Kontrol Sistem (Control Systems):

   - Dalam analisis dan desain sistem kontrol, turunan sering digunakan untuk mengukur laju perubahan suatu variabel terhadap waktu. Misalnya, turunan posisi terhadap waktu memberikan kecepatan, dan turunan kecepatan memberikan percepatan.

3. Optimisasi (Optimization):

   - Dalam masalah optimisasi, turunan digunakan untuk menemukan nilai minimum atau maksimum suatu fungsi. Turunan pertama dan kedua sering digunakan dalam analisis titik stasioner (titik kritis) untuk menentukan apakah suatu solusi merupakan minimum, maksimum, atau titik saddle.

4. Permodelan Dinamis Sistem Fisik:

   - Turunan berperan penting dalam permodelan matematis sistem fisik yang dinamis, seperti persamaan gerak dalam mekanika atau hukum-hukum dasar elektronika.

5. Pemrosesan Citra (Image Processing):

   - Dalam pemrosesan citra, turunan dapat digunakan untuk mendeteksi tepi atau perubahan intensitas dalam citra.

6. Analisis Struktur (Structural Analysis):

   - Dalam analisis struktur, turunan digunakan untuk menghitung momen, tegangan, dan deformasi dalam elemen struktural. Turunan juga digunakan dalam permodelan respons dinamis struktur terhadap beban dinamis.

7. Analisis Perpindahan Panas (Heat Transfer Analysis):

   - Dalam analisis perpindahan panas, turunan digunakan untuk menghitung gradien suhu dan menggambarkan distribusi panas dalam suatu sistem.

8. Analisis Sistem Elektromagnetik:

   - Dalam analisis sistem elektromagnetik, turunan digunakan untuk memodelkan hubungan antara medan elektromagnetik dan sirkuit listrik.

Turunan juga terlibat dalam pembuatan model matematis sistem dan memainkan peran penting dalam analisis numerik untuk memecahkan persamaan diferensial dan permasalahan matematika lainnya yang muncul dalam rekayasa. Oleh karena itu, pemahaman yang kuat tentang konsep turunan sangat penting bagi insinyur rekayasa.

y adalah fungsi dari x atau y=f(x), turunan fungsi dinotasikan sebagai y' atau f ‘(x) atau dy/dx

Maka turunan fungsi y=f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

Rumus 1

A. Definisi

Untuk y adalah fungsi dari x atau y=f(x), turunan fungsi dinotasikan sebagai y' atau f ‘(x) atau dy/dx

Maka turunan fungsi y=f(x) terhadap x didefinisikan sebagai :

Contoh :

Jika f (x)=x² – 3x, maka turunan fungsi f (x)adalah

Rumus 2

B.      Rumus Dasar Turunan

1. ·        Turunan fungsi konstan k. Jika f(x)=k, maka  f ‘(x)=0
2. ·        Jika f(x)=ax, maka f ‘(x)=a
3. ·        Jika f(x)=axⁿ, maka f ‘(x)=anx^n-1
4. ·        Jika f(x)=u(x) + v(x), maka f ‘(x)=u’(x) + v’(x)
5. ·        Jika f(x)=u(x) . v(x), maka f ‘(x)=u’(x) .v(x) + v’(x) . u(x)

·       6.               Jika f(x)=u(x) 
                                        v(x)
                   maka f ‘(x)= u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                                                   [v(x)]²

·                 7.        Jika f(x)=[u(x)]ⁿ, maka f‘(x)=n [u(x)]^n-1.u’(x)

·                 8.   Turunan fungsi komposisi (dalil rantai)

              Jika y=f(g(x)), maka  =dy  = dy .dg

                                   dx     dg   dx

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

• Jika f(x)=sin x, maka f’(x)=cos x

         dan jika f(x)=sin u(x), makaf’(x)=u’(x). cos u(x)

• Jika f(x)=cos x, maka f’(x)=-sin x

        dan jika f(x)=cos u(x), makaf’(x)=-u’(x). sin u(x)

•  Jika f(x)=tan x, maka f’(x)=sec²x

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL KURVA

• ·        Gradien garis singgung kurva di titik (x₁,y₁)pada kurva f(x) adalah m=f’(x₁)

Gradien

          Persamaan garis singgung kurva

          y – y₁=m (x – x₁)

·         

•     Garis normal kurva adalah suatu garis yang tegaklurus dengan garis singgung kurva di titik yang sama dengan titik singgungkurva.

Kurva

·                    Gradiengaris normal kurva di titik (x₁,y₁) pada kurva f(x)                          

a           adalah m_n=-1/f'(x)  

·                           Persamaan garis normal kurva

        y – y₁=m_n (x – x₁)

FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN DAN NILAI STASIONER

• ·        Fungsi naik

Suatu fungsi dikatakan naik dalam suatuselang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) < f(x₂)

kurva naik jika f’(x) > 0

• ·        Fungsi turun

Suatu fungsi dikatakan turun dalam suatuselang untuk x₁ < x₂ maka f(x₁) > f(x₂)

kurva naik jika f’(x) < 0

• ·        Nilai dan titik stasioner

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan pada x=a dan f’(a)=0, maka f(a) merupakan nilai stasioner fungsi f(x)

Jika f’(a)=0, maka titik stasioner fungsiadalah (a, f(a))

·        Jenis nilai stasioner dimana f”(x) adalahturunan kedua fungsi f(x)

Jika f”(a) < 0, maka f(a) berjenismaksimum

Kurva 2

Jika f”(a) > 0, maka f(a) berjenis minimum

Kurva 3

Jika f”(a)= 0, maka (a, f(a)) adalah titik belok

Kurva 4

  

                                                                          

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

    1. Turunan pertama dari fungsi f(x)=4x³ -3x² + 8x -5 adalah….

          Pembahasan:

        f’(x)  =4.3.x^3-1 – 3.2.x^2-1+ 8.1 x^1-1 -5.0.x^0-1

               =12x² – 6x¹ + 8x⁰ – 0

               =12x² – 6x + 8

     2.  Turunan pertama dari fungsi y=(3x²+2) (2x -5) adalah…

         Pembahasan:

       misal u(x)=3x² +2,  u’(x)=6x

       v(x)=2x -5,    v’(x)=2

       maka y’=u’(x) . v(x) + v’(x) . u(x)

                  =6x (2x – 5) + 2 (3x²+2)

                  =12x² – 30 x + 6 x²+ 4

                  =18x² – 30x + 4   

                                         

     3. Turunan pertama dari  dari y=(5x² +3 x)³adalah…

           Pembahasan:

         misal u(x)=(5x² +3x),  u’(x)=10x + 3

            y=[u(x)]ⁿ, 

            maka y' =n [u(x)]^n-1.u’(x)

    = 3(5x² +3x)²(10x + 3)

    =  (30x + 9)(5x² +3x)²

1.                  4.  Turunan pertama dari fungsi y=∛(6x+5) adalah…

         Pembahasan:

 y=(6x + 5)^1/3,u(x)=6x=5, u’(x)=6

 y’=1/3 (6x + 5)^-2/3(6)

    =2(6x + 5)^-2/3

    ^{=     2}       

       ∛(6x+5)²

5. Turunan pertama dari fungsi f(x)=3x + 2 adalah…

                                                    x - 1

                    Pembahasan:

            u(x)=3x+2, u’(x)=3

            v(x)=x-1,    v’(x)=1

     maka f ‘(x)= u’(x) . v(x) - v’(x) . u(x)

                                       [v(x)]²

                                =3(x-1) - 1(3x+2) 

                                           (x-1)²

                                =   -5    

                                     (x-1)²

      6.  Persamaan garis singgung para bola y=x²+ 4x -5 

                 pada titik (-1,2) adalah…

                Pembahasan:

             y’=2x + 4

             m=2(-1) + 4=2

             persamaan garis singgung

             y – 2=2 (x –(-1))

             y – 2=2x + 2

             y=2x + 4

2    7.   Persamaan garis normal kurva y=x³-4x²+ 5x-2 

                 pada titik (2,-5) adalah…

                Pembahasan:

             y’=3x²- 8x + 5=3(2)²– 8(2) + 5=1

             m_n=-1/y’=-1/1=-1

             persamaan garis normal

             y – (-5)=-1(x-2)

             y + 5=-x + 2

             y=-x -7

8.   8. Fungsi f(x)=x² – 9x naik pada interval…

                Pembahasan:

             fungsi naik jika f’(x) > 0 , 

             maka 2x –9 > 0

             jadi fungsi naik pada x > 4,5

9.   9. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f(x)=2x³ – 15x² +36x – 10 !

                 Pembahasan:

              titik stasioner dicapai jika f’(x)=0

              6x² -30x + 36=0

              6 (x -2) (x-3)=0

              x₁=2, x₂=3

              Nilai stasioner didapat

              f(2)=18 dan

              f(3)=17

          10. Tentukan turunan pertama dari y=sin³(2x+3)

               Pembahasan :

               y'=3sin²(2x+3).cos(2x+3) (2)

                  =6sin²(2x+3).cos(2x+3)

https://www.radarhot.com/2018/03/turunan-fungsi.html